準1級 教科書

二項分布と正規分布は 3 級で学んだ「主役分布」でしたが、現実の現象を数式で表現するには、それ以外にもいくつか重要な仲間が必要です。本節では、稀な事象の発生回数(ポアソン)、待ち時間(指数)、初成功までの試行回数(幾何)─ 3 つの分布を整理して扱います。

ポアソン分布

「平均と分散が等しい」という強い特徴があります。コールセンターへの 1 時間あたりの着信数、Web サイトの 1 分あたりのアクセス数、商店の 1 日の客数 ─ こうしたものはたいていポアソン分布で近似できます。

もう一つ重要な事実: 二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ で「$n$ が大きく $p$ が小さく、$np=\lambda$ が一定」のとき、ポアソン分布 $\mathrm{Po}(\lambda )$ で近似できる(ポアソンの極限定理)。「$n$ がたくさんあり、それぞれ稀にしか起こらない事象」を扱う際の典型的な近似です。

指数分布 ─ ポアソン現象の待ち時間

「平均 $\lambda$ 件 / 単位時間」起こる現象の隙間は、平均 $1/\lambda$ 単位時間。直感どおりです。指数分布は 無記憶性 という不思議な性質をもち、$P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)$ が成り立ちます ─ 「待った時間がどれだけあっても、これからの待ち時間の分布は変わらない」。

幾何分布 ─ 初めて成功するまで

「あたりの確率が $p=1/5$ のくじを引き続けるとき、初めてあたるまで平均 $5$ 回」 ─ これも直感に合います。幾何分布も指数分布同様、無記憶性をもつ離散版の典型です。

分布の使い分け早見表

• 二項 $\mathrm{Bin}(n,p)$: $n$ 回中の成功回数。回数固定。
• 幾何 $\mathrm{Geo}(p)$: 初成功までの試行回数。回数が確率変数。
• ポアソン $\mathrm{Po}(\lambda )$: 単位時間の発生回数。$n\to \infty ,p\to 0$ の二項極限。
• 指数 $\mathrm{Exp}(\lambda )$: ポアソン現象の待ち時間。連続分布。
• 正規 $N(\mu ,{\sigma }^2)$: 中心極限定理で多くの平均量に登場。

「身長と体重」のように複数の正規分布的な量が同時に揺れているとき、その結合分布を扱う枠組みが多変量正規分布です。準1級・1級ともに最重要分布の一つで、主成分分析・回帰分析・判別分析など多くの応用に登場します。

多変量正規分布の定義

性質

• 周辺分布も正規: $X_i$ それぞれは 1 次元正規分布に従う。
• 線形変換は正規: $\mathbf{Y}=A\mathbf{X}+\mathbf{b}$ も多変量正規分布($\mathbf{Y}\sim N(A\mathbf{\mu }+\mathbf{b},A\Sigma A^{\top })$)。
• 条件付き分布も正規: $X_2=x_2$ で条件付けた $X_1$ の分布も正規。
• 無相関 ⟺ 独立: 一般の確率変数では無相関と独立は別だが、多変量正規分布のときは「相関 0」なら独立が成り立つ。

2 変数正規分布の例

$k=2$ のとき、$(X,Y)\sim N_2(\mathbf{\mu },\Sigma )$ の分散共分散行列は次のように書けます。

$\rho$ は $X$ と $Y$ の相関係数。$\rho =0$ なら $X$ と $Y$ は独立(無相関 ⇔ 独立、上記性質)。$|\rho |$ が大きいほど $\Sigma$ の楕円が細長くなり、データが直線的なパターンを描きます。

条件付き期待値 ─ 回帰の本質

$Y$ を $X$ で予測する最良(最小二乗の意味で)の予測子は、多変量正規分布のもとでは線形 ─ つまり回帰直線そのものになる、というのがこの公式の意味するところです。「なぜ最小二乗法は線形回帰を導くのか」の理論的背景がここにあります。

応用への橋渡し

多変量正規分布は、本章以降の主成分分析・判別分析・多変量回帰、さらにはベイズ統計の事後分布の議論など、準1級の主要トピックすべての土台になります。「複数次元の正規分布は 1 次元の正規分布の素直な拡張」という感覚をしっかり身につけておくと、後の学習がぐっと楽になります。

ここまで学んできた古典的な統計学(頻度主義)では、母数 $\theta$ は「未知だが固定された値」と考えました。一方、本章で扱うベイズ統計学では、母数 $\theta$ 自体を「確率分布をもつ確率変数」と捉え、データを観測するたびにその分布を更新していく ─ という根本的に異なる立場をとります。

ベイズの定理

右辺の分母 $\int p(D\mid {\theta }^{\prime })\pi ({\theta }^{\prime })d{\theta }^{\prime }=p(D)$ はデータの周辺尤度(エビデンス)で、$\theta$ には依存しません。実用上は分母を計算せず、$\propto$ の関係から事後分布の形を読み取ることが多いのが特徴です。

用語のまとめ

• 事前分布 $\pi (\theta )$: データを見る前の $\theta$ への信念。
• 尤度 $p(D\mid \theta )$: 「$\theta$ がこの値だったら、このデータが出る確率」。
• 事後分布 $\pi (\theta \mid D)$: データを観測した後の $\theta$ への信念。
• 周辺尤度 $p(D)$: データだけの確率。モデル選択の指標としても用いる。

頻度主義 vs ベイズ

• 頻度主義: $\theta$ は固定値。「同じ実験を多数回繰り返したらどうなるか」で議論する。p 値・信頼区間がここに属する。
• ベイズ: $\theta$ も確率変数。「いま手元のデータを見て、$\theta$ への信念をどう更新するか」が中心問い。事後分布を直接扱う。
• 実務上の使い分け: 大量データなら結果はだいたい一致。事前知識を組み込みたい・サンプルが少ない・確率的解釈をしたい、ならベイズが有利。

「事前分布は主観的すぎないか?」という批判は古くからあります。これに対しては「無情報事前分布」(一様分布など)を使う、「結果が事前にあまり依存しないことを確かめる」(感度分析)、といった対応がとられます。データ量が増えると、事後分布は事前分布の選び方によらず似た形に収束していく ─ という性質も、ベイズ統計の安心材料です。

ベイズ更新は数式上は $\pi (\theta \mid D)\propto p(D\mid \theta )\pi (\theta )$ と書くだけですが、実際に事後分布の閉じた形を計算するのは一般には非常に難しい問題です。ところが、事前分布と尤度の組み合わせを上手に選ぶと、事後分布が事前分布と同じ族の分布として閉じた形で書ける ─ こうしたペアを共役分布(conjugate prior)といいます。

代表的な共役関係

他の代表例

• ベータ-ベルヌーイ / ベータ-二項: 比率の推定の定番。
• ガンマ-ポアソン: 単位時間あたりの発生率 $\lambda$ の推定。
• 正規-正規(${\sigma }^2$ 既知): 正規分布の平均 $\mu$ の推定。
• 逆ガンマ-正規: 正規分布の分散 ${\sigma }^2$ の推定。
• ディリクレ-カテゴリカル: 多カテゴリの比率の推定。

MAP 推定

MAP 推定は「事後分布の最頻値(モード)」を点として返す方法。事前分布が一様(無情報)なら、MAP は最尤推定(MLE)と一致します。逆に、事前分布として正規分布や Laplace 分布をおくと、それぞれ機械学習でいうリッジ正則化・ラッソ正則化付きの推定と等価になる ─ 「事前分布 ↔ 正則化項」という対応は、ベイズの実用的な見どころの一つ。

事後の要約 ─ 何で代表させるか

• 事後平均 $E[\theta \mid D]$: 平均二乗誤差を最小化する点推定。
• 事後最頻値(MAP): 事後分布のピーク。
• 事後中央値: 外れ値に強い。
• 信用区間(credible interval): $95\%$ の確率で $\theta$ が含まれる区間。頻度主義の信頼区間と似て非なるもの(解釈がより素直)。

古典統計の信頼区間は「同じ実験を繰り返したときに区間が真の値を含む確率」、ベイズの信用区間は「真の値がこの区間に入っている確率」。後者のほうが直感的な解釈に合います ─ これがベイズの大きな魅力の一つです。

2 級では説明変数が 1 つの単回帰を扱いました。準1級ではいよいよ複数の説明変数を同時に扱う重回帰モデルに進みます。「気温」だけでなく「曜日」「天気」「キャンペーン有無」など、複数の要因をまとめて分析できるようになります。

重回帰モデル(行列表現)

最小二乗推定量(行列形式)

単回帰の式 $\hat{\beta }=s_{xy}/s_x^2$ もこの行列式の特殊ケースになっています。$X^{\top }X$ の逆行列が「データの広がり方」を、$X^{\top }\mathbf{y}$ が「$\mathbf{y}$ との連動」を表していて、両者の比が回帰係数になる、という構造です。

残差・誤差分散の推定

予測値ベクトル $\hat{\mathbf{y}}=X\hat{\mathbf{\beta }}$、残差ベクトル $\mathbf{e}=\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$。残差平方和 $\mathrm{RSS}={\mathbf{e}}^{\top }\mathbf{e}$ から、誤差分散の不偏推定量は

分母の自由度 $n-(k+1)$ は「観測 $n$ 個から、推定したパラメータ $k+1$ 個ぶんの自由度を引いたもの」。単回帰なら $n-2$、重回帰なら $n-(k+1)$ です。

決定係数と自由度調整済み $R^2$

重回帰では「無関係な変数を 1 つ足すだけで $R^2$ がわずかに上がる」のがほぼ確実に起こります。これを防ぐため、$R_{\mathrm{adj}}^2$ は変数の数に応じてペナルティを課します。モデル比較では $R^2$ より $R_{\mathrm{adj}}^2$、AIC や BIC を見るのが定石。

係数の検定とモデル全体の F 検定

• 個々の係数の検定: $H_0:{\beta }_j=0$ を $T_j={\hat{\beta }}_j/\mathrm{SE}({\hat{\beta }}_j)\sim t(n-k-1)$ で検定。
• 全体の F 検定: $H_0:{\beta }_1=\cdots ={\beta }_k=0$(全係数 $0$)を、$F=(R^2/k)/((1-R^2)/(n-k-1))\sim F(k,n-k-1)$ で検定。

多重共線性 ─ 重回帰の落とし穴

対処法: 相関の強い変数のうち片方を除く / 主成分分析で次元削減 / リッジ回帰で正則化。VIF(分散拡大係数)で多重共線性を診断するのも一般的。重回帰を実務で扱うときには、まず VIF を確認するのが定石です。

重回帰は応答変数が連続値のときの道具でした。ところが「合格/不合格」「クリック/非クリック」「病気/健康」のような 二値の応答変数 を扱いたい場面はとても多くあります。本節では、こうしたデータに対する標準的な手法 ─ ロジスティック回帰を学びます。

なぜ重回帰ではダメなのか

応答 $y$ が $0$ または $1$ のとき、素朴に $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+\epsilon$ で予測すると、予測値 $\hat{y}$ が $0$ より小さくなったり $1$ を超えたりしてしまいます。「確率」として解釈したいのに、$[0,1]$ の範囲に収まる保証がない。これを解決するのがロジット変換です。

ロジスティック回帰モデル

ロジット関数 $\mathrm{logit}(p)=\log (p/(1-p))$ は $(0,1)\to (-\infty ,+\infty )$ への変換。これを使うことで「確率を線形回帰の枠組みで扱う」ことができます。逆変換は $p=\frac{1}{1+e^{-({\beta }_0+{\beta }_{1}x+\cdots )}}$ というシグモイド関数で、必ず $(0,1)$ に収まる、というわけです。

オッズ比の解釈

推定方法 ─ 最尤推定

重回帰では最小二乗法でしたが、ロジスティック回帰では最尤推定を使います。尤度関数は $L(\mathbf{\beta })={\prod }_{i=1}^n{p}_i^{y_i}(1-p_i{)}^{1-y_i}$ この対数を取って最大化します。閉じた解はないので、ニュートン法やフィッシャースコアリング法のような反復計算で解くのが標準。実装は統計ソフトに任せて、出力の読み解きに集中するのが実務的です。

二項分布との関係

ロジスティック回帰は、応答 $Y_i$ が二項分布(成功確率 $p_i$ がモデルに依存)に従うと仮定したモデルです。これを一般化したのが一般化線形モデル(GLM)で、応答分布が指数型分布族(二項・ポアソン・ガンマ・正規など)のときに、リンク関数で平均と線形予測子をつなぐ枠組み。ロジスティック回帰は GLM の代表例で、リンク関数がロジット、応答分布が二項です。

「100 個の変数があるデータを、できるだけ情報を保ったまま 2〜3 個に圧縮したい」 ─ 多変量データの次元削減のもっとも基本的な手法が、本節で学ぶ主成分分析(PCA)です。

アイデア ─ 「ばらつきが大きい方向」を見つける

$p$ 個の変数からなるデータの分散共分散行列を $\Sigma$ とします。データを「ある方向 $\mathbf{v}$」に射影したときの分散が最大になる方向を探す ─ それが第1主成分の方向。次に、第1主成分と直交する方向で分散が最大の方向が第2主成分、というように順次決めていきます。

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

# 適当なデータ(100 行 × 5 列)
X = np.random.randn(100, 5)

# 標準化してから PCA
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
pca = PCA(n_components=2)
Z = pca.fit_transform(X_scaled)

print("寄与率:", pca.explained_variance_ratio_)
print("累積寄与率:", pca.explained_variance_ratio_.cumsum())

数式での定義

寄与率と累積寄与率

PCA の実用上のポイント

• 標準化(z スコア化)を先に行う: 単位の異なる変数を扱うとき、PCA は分散の大きい変数に引きずられる。事前に標準化すべきかは状況による。
• 固有値の大きさで主成分の数を決める: 累積寄与率 70〜80% を目安にする(経験則)。スクリープロット(固有値を順に並べた折れ線図)で「肘」を探すのも定番。
• 主成分の解釈: 固有ベクトルの成分(loading)を見て、「どの変数が強く効いているか」を読み解く。「サイズ」「形状」のような意味のある軸が見えてくる例が多い。
• 回転(バリマックス回転など): 解釈を改善するために、主成分軸を回転させる手法もある(因子分析でよく使う)。

PCA は次元削減だけでなく、可視化(2 次元プロット)、ノイズ除去、特徴抽出など多用途の道具。データサイエンスの現場でも頻出するので、概念と固有値分解の対応関係をしっかり押さえておきましょう。

売上データ・株価・気温・人口 ─ 時間に沿って観測されるデータを時系列といいます。時系列データには「過去の値が未来に影響する」「季節性がある」など、これまでの「独立同分布」を仮定する分析とは異なる構造があります。本節では、その代表的なモデル化手法 ─ AR・MA・ARIMA ─ を扱います。

定常性 ─ 時系列分析の出発点

「平均もばらつきも、見る時期によって変わらない」というのが定常時系列。たとえば株価は通常、トレンドがあるので定常ではありません(差分を取ると定常に近づくことが多い)。多くの古典的な時系列モデルは、定常時系列を前提に作られています。

AR モデル ─ 自分の過去を回帰

「いまの値は、過去 $p$ 期の値から線形に決まる(+ ノイズ)」というモデル。AR(1) は $X_t=\varphi X_{t-1}+{\epsilon }_t$ で、$|\varphi |<1$ のとき定常になります。$|\varphi |=1$ なら非定常で「ランダムウォーク」、$|\varphi |>1$ なら発散。

MA モデル ─ 過去のショックの平均

AR が「過去の 値 を引きずる」のに対し、MA は「過去の ノイズ を引きずる」モデル。両者を組み合わせて表現力を上げたのが ARMA(p, q) モデル: $X_t$ が過去の値とノイズの両方に依存します。

ARIMA モデル ─ 非定常への対応

「素のままでは定常じゃないが、差分を取れば定常になる」非定常時系列 ─ 株価や売上のトレンドのあるデータ ─ を扱う基本モデルが ARIMA。$d=0$ なら ARMA、$d\ge 1$ なら差分が必要、というシンプルな構造。

モデル次数の決め方

• 自己相関関数(ACF): ラグ $h$ ごとの相関を見る。MA(q) なら $h>q$ で 0 に。
• 偏自己相関関数(PACF): 中間ラグの影響を除いた自己相関。AR(p) なら $h>p$ で 0 に。
• 情報量規準(AIC・BIC): いくつかの候補モデルを当てはめ、AIC が最小のものを選ぶのが定石。
• 残差診断: 残差にホワイトノイズらしさが残っているか(リュング・ボックス検定など)。

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

# 月次売上データ(リスト y)
fit = ARIMA(y, order=(1, 1, 1)).fit()
print(fit.summary())

# 12 期先まで予測
forecast = fit.forecast(steps=12)

# モデル次数の判断には ACF/PACF プロット
plot_acf(y, lags=20)
plot_pacf(y, lags=20)

発展トピックへの橋渡し

• SARIMA: 季節性を組み込んだ ARIMA。月次・季節データの定番。
• VAR: 複数の時系列を同時に扱う多変量モデル。
• GARCH: ボラティリティ(分散自体が時間変化)をモデル化。金融データで頻出。
• 状態空間モデル / カルマンフィルタ: 時系列分析の現代的な統一的枠組み。

ここまでが時系列解析の基本。次章以降では多変量解析を更に広げ、ノンパラ手法・生存解析・実験計画法などの応用領域へと進みます。

PCA が「観測されたばらつきを最大限保つ」のに対し、因子分析は 観測変数の背後にある潜在因子(共通因子)を仮定 する立場のモデルです。心理測定・教育測定・マーケティング(ブランドイメージなど)で広く使われます。

因子モデル

PCA では「分散最大方向」を機械的に取りますが、因子分析では「共通因子で説明できる部分(共通性)と、各観測変数固有の独自分散とを分離する」のがポイント。共通性 = 1 − 独自分散。

因子の回転

因子分析の解は本質的に 回転の自由度 を持っています(同じ共通性を保ったまま $\Lambda$ を別の行列に置き換えられる)。これを利用して、解釈しやすい『シンプルな構造』に近づける操作が 回転:

• バリマックス回転(直交): 各因子で大きい負荷量と小さい負荷量にメリハリをつける。最も標準的。
• プロマックス回転(斜交): 因子間の相関を許容したうえで、より解釈しやすい構造を作る。
• 直交 vs 斜交: 直交回転は因子の独立性を仮定、斜交回転は因子の相関を認める。心理測定では斜交が選ばれることが多い。

「データを与えられたとき、それがどのグループに属するか分類する」という問題を扱うのが判別分析。ロジスティック回帰と並ぶ古典的な分類手法で、特に 正規分布を仮定できる連続変数 のデータで強力です。

線形判別分析(LDA)

「群の平均が離れていて、群内のばらつきが小さい方向」を見つけるのが LDA の核心。共分散が等しい仮定が成り立てばロジスティック回帰より少ないデータで安定して動きます。

二次判別分析(QDA)

共分散行列が群ごとに違う(${\Sigma }_1\ne {\Sigma }_2$)場合は二次判別分析(QDA)。判別境界が直線でなく 二次曲面 になるため、データに合わせて柔軟な境界を引けますが、推定するパラメータが増えるので過学習しやすい欠点があります。

現代的な分類手法との対比

• LDA: 仮定が成り立つとき効率的。$n$ が小さくても安定。
• ロジスティック回帰: 多変量正規を仮定せずより柔軟。確率出力。
• SVM・ランダムフォレスト: 非線形境界を学習可能。$n$ が大きいときに強い。

ラベルなしデータ(教師なし学習)から、似たデータをグループにまとめる手法がクラスタリング。次元削減と並んで多変量データ探索の主役です。

k-means 法

目的関数は クラスタ内の点と重心の距離の 2 乗和(WCSS)で、これを最小化する。初期値依存性 があるため、複数回ランダムに開始して最良の結果を採るのが定石(k-means++ という賢い初期化法もある)。

階層的クラスタリング

k-means が「クラスタ数を最初に決める」のに対し、階層的クラスタリングは『最も近いペアから順に併合(または分割)していく』方法で、結果を樹形図(デンドログラム)で表します。クラスタ数を後から自由に決められる柔軟性が利点です。

• ウォード法: クラスタ間の分散の増加を最小化。最も標準的。
• 最短距離法(単連結): 鎖状クラスタを作りやすい。
• 最長距離法(完全連結): 球状クラスタを作りやすい。
• 群平均法: 平均距離。バランスが良い。

クラスタ数の選び方

• エルボー法: k を増やしながら WCSS をプロットし、『肘』のある k を採用。
• シルエット係数: 各点について『同クラスタ内の距離 vs 隣接クラスタへの距離』の比で評価。1 に近いほど良い。
• ギャップ統計量: WCSS をランダムデータと比較し、有意に小さくなる k を選ぶ。

重回帰は応答変数 $Y$ が 正規分布 に従うことを暗黙に仮定した手法でした。実務ではしかし、$Y$ が二値(成功/失敗)・カウント・確率・正値だけなど 正規分布では扱えない 場合のほうが多い。一般化線形モデル(GLM) は、これらを統一的に扱う枠組みです。

GLM の 3 つの構成要素

1. 確率分布の仮定: $Y$ が指数型分布族(正規・二項・ポアソン・ガンマなど)のいずれかに従う
2. 線形予測子: $\eta ={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_k{x}_k$
3. リンク関数 $g$: $g(\mu )=\eta$ で平均 $\mu =E[Y]$ と線形予測子を結ぶ

推定 ─ 最尤推定

GLM の係数は 最尤推定 で求めます。指数型分布族の性質より、対数尤度が凸関数になるため、ニュートン・ラフソン法(または Iteratively Reweighted Least Squares = IRLS)で安定して大域最適に収束します。実装は R の `glm()`、Python の `statsmodels.GLM` などで一発。

カウントデータ(0 以上の整数)を扱う代表的な GLM がポアソン回帰。「Web ページのアクセス数」「店舗あたりの来客数」「事故件数」など、頻出のデータタイプです。

ポアソン回帰モデル

ポアソン分布は 平均 = 分散 が成り立つので、回帰モデルとしては自然な選択。「広告費を増やすと、平均クリック数は何倍になるか」のような問題で典型的に使われます。

過分散(overdispersion)

• 準ポアソン回帰(quasi-Poisson): 分散を $\varphi \lambda$($\varphi >1$)とし、過分散パラメータ $\varphi$ も同時に推定。
• 負の二項回帰: ポアソンよりも分散が大きい『負の二項分布』を仮定。過分散の標準的対処法。
• ゼロ過剰モデル(ZIP/ZINB): ゼロが想定以上に多いデータ用(『来客 0 人の日が多い』など)。

「3 種類の肥料 A・B・C で育てた野菜の平均収穫量に差はあるか」「4 つの広告デザインで CV 率に差はあるか」 ─ こうした 3 群以上の平均差 を検定するのが分散分析(ANOVA)です。

なぜ t 検定の繰り返しではダメか

3 群を比較するために A vs B、A vs C、B vs C と 3 回 t 検定をすると、全体としての第 1 種の誤りが膨らむ(α=0.05 を 3 回繰り返すと、少なくとも 1 回は誤判定する確率は約 14%)。これを多重検定の問題といい、ANOVA の出番になります。

一元配置 ANOVA の検定統計量

前提条件

• 各群が正規分布に従う
• 各群の分散が等しい(等分散性、ホモジェニアス)
• 観測が独立

等分散の仮定が崩れた場合は Welch の ANOVA、正規性が崩れた場合は Kruskal-Wallis 検定(ノンパラメトリック版)を使うのが標準的な対応です。

多重比較

ANOVA で『どこかに差がある』と判定された後、『どの群とどの群に差があるか』を特定するのが多重比較。代表的な手法に Tukey の HSD 検定・Bonferroni 補正・Scheffé 法など。各手法は『第 1 種の誤りをどう抑えるか』のアプローチが違います。

2 つ以上の要因(因子) が同時に効いているデータでは、二元配置以上の ANOVA を使います。要因 A(肥料の種類)と要因 B(水やり頻度)が両方ある場合に、それぞれの効果と『組合せの効果』を分離できます。

主効果と交互作用効果

• A の主効果: B を平均化した上での A の各水準の効果差
• B の主効果: A を平均化した上での B の各水準の効果差
• 交互作用効果(A×B): 「A の効果が B の水準によって変わる」ような効果

二元配置 ANOVA の構造

実験計画法(後の章)では、限られた試行回数で多くの要因を効率的に検証する方法を扱います。ANOVA は実験計画法の理論的基盤になります。

正規分布の仮定が成り立たない(分布が歪んでいる、外れ値が多い、サンプルサイズが小さい)場合に使われるのがノンパラメトリック検定。データの 値そのもの ではなく 順位 や 符号 に基づいて検定を行います。

Wilcoxon の符号順位検定

対応のある t 検定の正規性を仮定しない代替。順位を使うので外れ値の影響をほぼ受けない のが利点。

Mann-Whitney の U 検定

Kruskal-Wallis 検定

• ANOVA の正規性が成り立たないとき(分布が歪み・外れ値あり)に使う
• 有意なら多重比較(Dunn の検定など)で群ペアを特定

「性別 × 賛成/反対」「商品 A/B × 購入/非購入」のような 2 つのカテゴリ変数のクロス集計表(分割表) において、変数間に関連があるかを検定する手法をまとめます。

カイ二乗独立性検定

期待度数がすべて 5 以上 という前提があり、満たさない場合は次の Fisher 正確検定を使うのが標準。

Fisher の正確検定

計算が組合せ的で重いため、伝統的には 2×2 だけで使われましたが、現代の計算能力ではより大きい分割表でも可能(`fisher.test` で `simulate.p.value=TRUE`)。

McNemar 検定

「がん患者の生存時間」「機械の故障までの時間」「サブスク契約の継続期間」 ─ こうした イベント発生までの時間 を扱うのが生存時間解析。普通の回帰と違って、まだイベントが起きていないデータ(打ち切り) をどう扱うかが核心です。

生存関数とハザード関数

生存関数は『どれだけ長持ちするか』、ハザード関数は『どの時期に死にやすいか』を表す異なる視点。例えば若年期は事故、高齢期は病気で死亡率が上がる『バスタブ型』のハザードはハードウェアでも見られます。

打ち切り(censoring)

生存解析の主役となる 2 つの手法を扱います: ノンパラメトリックな生存曲線推定の カプラン・マイヤー法 と、共変量を組み込んだ回帰の Cox 比例ハザードモデル。

カプラン・マイヤー法

階段関数の形をしており、イベントが起こるたびにステップ・ダウンします。打ち切りデータも『リスク集合からの離脱』として正しく扱われる、というのが KM の精緻なところ。

ログランク検定

2 つの群の生存曲線が 同じか異なるか を検定するのがログランク検定。各時点でのイベント数の差を集計し、カイ二乗統計量で検定する。臨床試験の比較で必ず使われる手法です。

Cox 比例ハザードモデル

ベースラインハザード $h_0(t)$ の形を仮定しなくても係数 $\mathbf{\beta }$ を推定できる(部分尤度を使う)── というのが Cox の優れた性質。ハザード比 という直感的な解釈ができるため、医療統計の標準ツールになっています。

実験計画法(Design of Experiments, DoE) は、限られたリソース(時間・コスト)で多くの要因の効果を効率的に検証するための統計学の応用分野です。Fisher が農業実験で確立した古典的な分野ですが、現代でも製造業・医薬品開発・マーケティングで現役です。

Fisher の 3 原則

1. 反復(Replication): 同じ条件で複数回測定し、誤差分散を推定する
2. 無作為化(Randomization): 試行の順序を無作為にし、外的要因による偏りを防ぐ
3. 局所管理(Local Control / Blocking): 既知の外的要因(畑のブロック、工場のロットなど)で層別し、その影響を分散分析で取り除く

この 3 原則を守ることで、得られたデータから 因果効果 を推測できる ─ ということが Fisher の最大の発見でした。現代の A/B テスト・ランダム化臨床試験(RCT)の理論的基盤です。

ブロック化

ブロック因子(畑の区画・実験日・実験者など)で実験を層別すると、ブロック内の差異を取り除いた上で要因効果を評価できます。一元配置の発展形 = 乱塊法(Randomized Block Design)。

• 完全ブロック計画: すべての処理を各ブロックで 1 回ずつ実施
• ラテン方格: 2 つのブロック因子を同時に統制(行と列で別ブロック)。同じ処理が各行・各列に 1 つずつ

$k$ 個の要因(各 2 水準) の組合せをすべて試すと $2^k$ 通り。$k=7$ で 128 通りになり実施困難です。そこで 要因の重要な部分だけを効率的にサンプリングする のが直交表・一部実施計画。

直交表(Orthogonal Array)

$L_8(2^7)$ は『2 水準 7 因子の実験を 8 回で済ませる』直交表で、品質工学(田口メソッド)で頻出。全 128 通りを 8 通りに圧縮 できる優れた設計です。ただし得られる情報は『主効果 + 一部の交互作用』に限られます。

応答曲面法と最適化

因子が 連続値(温度・圧力・配合比など)のとき、応答 $y$ を因子の 2 次関数 で近似し、最適点を探す手法を応答曲面法といいます。中心複合計画(CCD)・Box-Behnken 計画などが代表的で、製品開発・プロセス最適化で使われます。

これで準1級の主要範囲は終わりです。確率分布の応用、ベイズ統計、多変量解析、時系列解析、GLM、ANOVA、ノンパラ手法、生存時間解析、実験計画法 ─ 統計学の実務応用の主要分野を一通り歩き終えました。1 級では、これらの背景にある 理論的な道具立て ─ 十分統計量・最尤推定・漸近理論・確率過程 ─ をより精密に扱っていきます。