統計検定学習帳

Cheatsheet

公式チートシート

統計検定入門編〜1 級の重要公式を 1 ページに集約しました。**ブラウザの印刷機能(Ctrl/Cmd + P)** で A4 サイズに最適化された印刷ができます。試験前の最終確認や、学習の振り返りにご利用ください。

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入門編

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代表値

平均

平均 = \frac{合計}{個数}

比べる

割合

割合 = \frac{比べられる量}{もとにする量}

百分率(%)

百分率 (%) = 割合 \times 100

データ

相対度数

相対度数 = \frac{ある階級の度数}{全体の度数}

確率

確率の基本

P (A) = \frac{A が起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}

ばらつき

範囲

範囲 = 最大値 - 最小値

4 級

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データの基本

平均値

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

中央値

Med

最頻値

Mode

範囲(レンジ)

R = x_{m a x} - x_{m i n}

相対度数

相対度数 = \frac{その階級の度数}{全体の度数}

四分位数

Q_{1}, Q_{2} (= Med), Q_{3}

確率

確率の定義

P (A) = \frac{事象 A の起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}

確率のとりうる範囲

0 \leq P (A) \leq 1

余事象の確率

P (A^{c}) = 1 - P (A)

場合の数

順列

_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!} = n (n - 1) \dots (n - r + 1)

組合せ

_{n} C_{r} = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

階乗

n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1

3 級

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記述統計

標本平均

\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}

中央値

Med = ⎩ ⎨ ⎧ x_{((n + 1) /2)} \frac{x _{(n /2)} + x _{(n /2 + 1)}}{2} (n が奇数) (n が偶数)

標本分散

s^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

標本標準偏差

s = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

四分位範囲

IQR = Q_{3} - Q_{1}

2変数データ

共分散

s_{x y} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) (y_{i} - \overset{y}{ˉ})

相関係数

r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} \sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

確率

余事象の確率

P (A^{c}) = 1 - P (A)

確率の加法定理

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

条件付き確率

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

独立事象の乗法定理

P (A \cap B) = P (A) P (B)

確率変数

期待値(離散)

E [X] = i \sum x_{i} P (X = x_{i})

確率変数の分散

V [X] = E [(X - E [X])^{2}] = E [X^{2}] - (E [X])^{2}

線形変換の期待値・分散

E [a X + b] = a E [X] + b, V [a X + b] = a^{2} V [X]

確率分布

二項分布

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

正規分布の標準化

Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)

推定

母平均の信頼区間(σ既知)

\overset{ˉ}{X} \pm z_{α /2} \frac{σ}{n}

母比率の信頼区間

\overset{p}{^} \pm z_{α /2} \frac{p ^ ( 1 - p ^ )}{n}

2 級

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記述統計・推定量

不偏分散

s^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}

標本平均の標準誤差

SE (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ}{n}

確率分布

ポアソン分布

P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}

幾何分布

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

指数分布

f (x) = λ e^{- λ x}, x \geq 0

一様分布

f (x) = \frac{1}{b - a}, a \leq x \leq b

標本分布

カイ二乗分布

Y = i = 1 \sum k Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (k)

t 分布

T = \frac{Z}{Y / k} \sim t (k)

F 分布

F = \frac{Y _{1} / k _{1}}{Y _{2} / k _{2}} \sim F (k_{1}, k_{2})

中心極限定理

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} d N (0, 1) (n \to \infty)

推定

母平均の信頼区間(σ未知)

\overset{ˉ}{X} \pm t_{α /2} (n - 1) \frac{s}{n}

母分散の信頼区間

[\frac{( n - 1 ) s ^{2}}{χ _{α /2}^{2} ( n - 1 )}, \frac{( n - 1 ) s ^{2}}{χ _{1 - α /2}^{2} ( n - 1 )}]

仮説検定

母平均の検定(σ既知)

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}

母平均の検定(σ未知)

T = \frac{X ˉ - μ _{0}}{s / n} \sim t (n - 1)

2標本 t 検定(等分散)

T = \frac{X ˉ _{1} - X ˉ _{2}}{s _{p} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}}, s_{p}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) s _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) s _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}

母比率の検定

Z = \frac{p ^ - p _{0}}{p _{0} ( 1 - p _{0} ) / n}

カイ二乗適合度検定

χ^{2} = i \sum \frac{( O _{i} - E _{i} ) ^{2}}{E _{i}}

カイ二乗独立性検定

χ^{2} = i, j \sum \frac{( O _{ij} - E _{ij} ) ^{2}}{E _{ij}}, df = (r - 1) (c - 1)

回帰分析

単回帰の回帰係数

\hat{β} = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}

決定係数

R^{2} = 1 - \frac{\sum ( y _{i} - y ^ _{i} ) ^{2}}{\sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

準 1 級

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確率論

積率母関数(MGF)

M_{X} (t) = E [e^{tX}]

特性関数

φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]

多変量分布

同時確率密度と周辺密度

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y

多変量正規分布

f (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{k /2} ∣Σ ∣ ^{1/2}} exp (- \frac{1}{2} (x - μ)^{⊤} Σ^{- 1} (x - μ))

ベイズ統計

ベイズの定理

P (θ ∣ D) = \frac{P ( D ∣ θ ) P ( θ )}{P ( D )}

ベータ-二項の共役性

θ \sim Beta (α, β), X \sim Bin (n, θ) \Rightarrow θ ∣ X = k \sim Beta (α + k, β + n - k)

最大事後確率(MAP)推定

\hat{θ}_{MAP} = ar g θ max p (θ ∣ D) = ar g θ max p (D ∣ θ) p (θ)

推定理論

最尤推定(MLE)

\hat{θ}_{MLE} = ar g θ max i = 1 \prod n f (x_{i}; θ)

フィッシャー情報量

I (θ) = E [(\frac{\partial}{\partial θ} lo g f (X; θ))^{2}] = - E [\frac{\partial ^{2}}{\partial θ ^{2}} lo g f (X; θ)]

多変量解析

主成分分析(PCA)

Σ v_{k} = λ_{k} v_{k}

重回帰モデル(行列表示)

\hat{β} = (X^{⊤} X)^{- 1} X^{⊤} y

ロジスティック回帰

lo g \frac{p}{1 - p} = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k}

分散分析

一元配置分散分析の F 統計量

F = \frac{MS _{between}}{MS _{within}} \sim F (k - 1, N - k)

時系列解析

MA(q) 過程

X_{t} = μ + ε_{t} + θ_{1} ε_{t - 1} + \dots + θ_{q} ε_{t - q}

AR(p) 過程

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + \dots + ϕ_{p} X_{t - p} + ε_{t}

ARIMA(p,d,q)

(1 - ϕ_{1} B - \dots - ϕ_{p} B^{p}) (1 - B)^{d} X_{t} = (1 + θ_{1} B + \dots + θ_{q} B^{q}) ε_{t}

確率過程

マルコフ連鎖の定常分布

π P = π, i \sum π_{i} = 1

情報量

KL ダイバージェンス

D_{KL} (P ∥ Q) = x \sum p (x) lo g \frac{p ( x )}{q ( x )}

リサンプリング

ブートストラップ

\hat{θ}^{* (b)} = T (X_{1}^{* (b)}, \dots, X_{n}^{* (b)}), b = 1, \dots, B

1 級

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分布論

指数型分布族

f (x; θ) = h (x) exp (j = 1 \sum k η_{j} (θ) T_{j} (x) - A (θ))

十分統計量

フィッシャー-ネイマン分解定理

f (x; θ) = g (T (x); θ) h (x)

ラオ・ブラックウェルの定理

\tilde{θ} = E [\hat{θ} ∣ T], MSE (\tilde{θ}) \leq MSE (\hat{θ})

レーマン・シェッフェの定理

T : 完備十分統計量, \hat{θ} (T) : 不偏 \Rightarrow \hat{θ} (T) は UMVUE

推定理論

クラメル・ラオの下限

Var (\hat{θ}) \geq \frac{1}{n I ( θ )}

漸近理論

デルタ法

n (\hat{θ} - θ) d N (0, σ^{2}) \Rightarrow n (g (\hat{θ}) - g (θ)) d N (0, g^{'} (θ)^{2} σ^{2})

スラツキーの定理

X_{n} d X, Y_{n} p c \Rightarrow X_{n} + Y_{n} d X + c, X_{n} Y_{n} d c X

仮説検定

尤度比検定

- 2 lo g Λ = - 2 lo g \frac{sup _{θ \in Θ_{0}} L ( θ )}{sup _{θ \in Θ} L ( θ )} d χ^{2} (r)

Wald 検定

W = (\hat{θ} - θ_{0})^{⊤} I (\hat{θ}) (\hat{θ} - θ_{0}) d χ^{2} (r)

スコア検定(ラオ検定)

S = U (θ_{0})^{⊤} I (θ_{0})^{- 1} U (θ_{0}) d χ^{2} (r)

ネイマン・ピアソンの補題

φ^{*} (x) = {10 if L (θ_{1}) / L (θ_{0}) > k if L (θ_{1}) / L (θ_{0}) < k

確率過程

ブラウン運動(ウィーナー過程)

B_{t} - B_{s} \sim N (0, t - s), 0 \leq s < t

確率解析

伊藤の公式

d X_{t} = μ_{t} d t + σ_{t} d B_{t} \Rightarrow df (X_{t}) = f^{'} (X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} f^{''} (X_{t}) σ_{t}^{2} d t

計算統計

EM アルゴリズム

Q (θ ∣ θ^{(t)}) = E_{Z ∣ X, θ^{(t)}} [lo g L (θ; X, Z)]

メトロポリス・ヘイスティングス比

α (x, y) = min (1, \frac{π ( y ) q ( x ∣ y )}{π ( x ) q ( y ∣ x )})

不等式

イェンセンの不等式

g : 凸 \Rightarrow g (E [X]) \leq E [g (X)]