2級 公式集

母分散の不偏推定量。標本分散の分母を $n$ ではなく $n-1$ とすることで $E[s^2] = \sigma^2$ を満たす。

標本平均のばらつきの大きさ。母標準偏差を $\sqrt{n}$ で割った値で、n を増やすと縮む。

単位時間あたり平均 λ 回起こる稀な事象の発生回数の分布。$E[X] = V[X] = \lambda$。

成功確率 $p$ のベルヌーイ試行で、初めて成功するまでの試行回数 $X$ の分布。$E[X] = 1/p$。

ポアソン過程における事象間の待ち時間の分布。$E[X] = 1/\lambda$, $V[X] = 1/\lambda^2$。無記憶性をもつ。

区間 $[a,b]$ 上で確率密度が一定となる連続分布。$E[X] = (a+b)/2$, $V[X] = (b-a)^2/12$。

独立な標準正規乱数の2乗和は自由度 $k$ のカイ二乗分布に従う。分散の推定や適合度検定で使う。

標準正規 $Z$ と自由度 $k$ のカイ二乗 $Y$ が独立のとき $T$ は自由度 $k$ の t 分布に従う。母分散未知の母平均推定に使う。

独立な2つのカイ二乗変数の自由度で割った比の分布。2つの分散の比較や回帰の有意性検定に用いる。

母集団の分布によらず、標本平均は $n$ が十分大きいとき近似的に正規分布に従う。大標本理論の基礎。

母分散が未知で不偏分散 $s^2$ を用いる場合の母平均の信頼区間。自由度 $n-1$ の t 分布を使う。

正規母集団における母分散の信頼区間。カイ二乗分布の上側・下側パーセント点を用いる。

正規母集団の母分散 $\sigma^2$ の $(1 - \alpha) \times 100\%$ 信頼区間。左右で分母の自由度の選び方が逆になる点に注意。

帰無仮説 $H_0: \mu = \mu_0$ の検定統計量。$|Z| > z_{\alpha/2}$ で両側 $\alpha$ 棄却。

母分散未知での母平均の検定。不偏分散 $s^2$ を使い、自由度 $n-1$ の t 分布で棄却判定。

2群の母平均の差の検定。等分散を仮定し、プールした分散 $s_p^2$ を使う。自由度は $n_1 + n_2 - 2$。

帰無仮説 $H_0: p = p_0$ の検定統計量。正規近似を用いるので $np_0, n(1-p_0)$ が十分大きいことが必要。

観測度数 $O_i$ と期待度数 $E_i$ の乖離を測る統計量。自由度は $(\text{カテゴリ数}) - 1 - (\text{推定パラメータ数})$。

分割表で行変数と列変数が独立かを検定。期待度数は $E_{ij} = (行計)(列計)/(総計)$。

正規母集団のもとで母分散 $\sigma_0^2$ を検定するための統計量。自由度 $n - 1$ のカイ二乗分布に従う。両側棄却域は $\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}$ と $\chi^2_{n-1, \alpha/2}$。

等分散を仮定しない 2 標本の平均差検定。自由度は Welch-Satterthwaite の近似式で求める。Student の t 検定より頑健で実務では既定値に近い。

Welch の t 検定で使う近似自由度。両群の分散と標本サイズが等しいときには $n_X + n_Y - 2$ に一致する。

2 標本の等分散性を検定する。慣例として大きい方を分子にする。正規性に弱いため、Levene 検定が代替されることが多い。

最小二乗法による単回帰直線の傾き。切片は $\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta} \bar{x}$ で求まる。

回帰モデルが従属変数の分散をどれだけ説明できたかの指標。$0 \leq R^2 \leq 1$、単回帰では $R^2 = r^2$。

重回帰で説明変数 $k$ 個を増やしても見かけ上 $R^2$ が上がる問題を補正した指標。意味のない変数を増やすと逆に下がる。

重回帰の最小二乗推定量。$X$ はデザイン行列(切片用に 1 列追加)。$X^\top X$ が逆行列を持たない(完全多重共線性)と推定不能。

他の説明変数で $x_j$ を回帰したときの $R_j^2$ から計算。VIF が 5〜10 を超えると多重共線性の疑いが強い。係数の標準誤差が膨張する。

$g$ 群、合計 $n$ 標本のとき、群間平方和 $S_A$ と誤差平方和 $S_E$ から計算。$F_0 > F_{g-1, n-g, \alpha}$ で $H_0:$ すべての群平均が等しい、を棄却。

全平方和 $S_T$ は群間 $S_A = \sum_i n_i (\bar{X}_{i.} - \bar{X}_{..})^2$ と群内 $S_E$ に直交分解できる。これが ANOVA の数学的根拠。

$m$ 個の検定を行うとき、各検定の有意水準を $\alpha/m$ に厳しくすれば、全体の Type I エラー率(FWER)が高々 $\alpha$ に抑えられる。簡便だが保守的。