2級 教科書

3 級で「標本平均は母平均の良い推定量」「標準誤差は $\sigma /\sqrt{n}$」と学びました。本節ではその「良い推定量」が満たすべき性質、特に不偏性を整理し、標本分散と不偏分散の違い、標本平均の標本分布をもう一段精密に扱います。

推定量と推定値

不偏性

「平均的にはちょうど真の値を当てる」という性質。たくさんの標本を取って毎回 $\hat{\theta }$ を計算すれば、その値の平均がちょうど真の $\theta$ になる、という意味です。

標本平均は不偏

証明は期待値の線型性から一発: $E[\bar{X}]=\frac{1}{n}\sum E[X_i]=\frac{1}{n}\cdot n\mu =\mu$。

標本分散と不偏分散 ─ なぜ $n - 1$ で割るのか

標本のばらつきを測るとき、$s^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$(標本分散)を使うと、実は母分散を過小評価してしまうことが知られています。なぜか?

理由は、平均が「真の母平均 $\mu$」ではなく「標本から計算した $\bar{X}$」になるから。$\bar{X}$ は標本に最もフィットする中心なので、各 $X_i$ から $\bar{X}$ への偏差は $\mu$ への偏差より平均して小さくなり、その分だけばらつきが小さく見積もられてしまう。

ポイントは「分母が $n-1$」。これで過小評価ぶんが補正され、平均的にきっちり ${\sigma }^2$ に当たります。実用統計ソフト(Excel・Python など)で「分散」と言うと、この不偏分散を返すものが多いので注意してください。

自由度 ─ なぜ $n - 1$?

$n-1$ は「自由度」と呼ばれます。$n$ 個の偏差 $X_i-\bar{X}$ には「合計が必ず $0$」という制約が 1 つあるため、自由に動ける個数は実質 $n-1$ 個。「情報量」が 1 つ減っているぶん、分母を 1 つ減らして補正している、と直感的に理解できます。

標本平均の標準誤差(再掲)

$\sigma$ が未知のときは不偏分散の平方根 $\hat{s}$ で代用し、$\mathrm{SE}(\bar{X})\approx \hat{s}/\sqrt{n}$ と推定します。この置き換えが、次節で登場する t 分布(母分散未知での母平均の推定・検定)につながります。

中心極限定理(精密版)

母集団の分布が正規分布でなくても、$n$ が十分大きければ標本平均は近似的に正規分布になる ─ という強力な定理。実務上の目安は $n\ge 30$ です(母集団が偏っているときはもっと必要)。次節以降の信頼区間や検定が「正規分布で計算できる」のは、この定理のおかげです。

3 級で学んだ母平均の信頼区間 $\bar{X}\pm 1.96\cdot \sigma /\sqrt{n}$ には、見落とせない前提がありました ─「母標準偏差 $\sigma$ が既知」という仮定です。実務でデータを扱うとき、母分散が事前にわかっていることはまずありません。本節では、この現実的な状況で母平均の信頼区間を作る手順 ─ t 分布の出番 ─ を学びます。

$\sigma$ を $\hat{s}$ で置き換えるとどうなるか

ここまでの式の $\sigma$ を不偏分散の平方根 $\hat{s}$ で置き換えれば、$\sigma$ が未知でも信頼区間が作れそうな気がします。実際、$n$ が十分大きければ $\hat{s}\approx \sigma$ で問題ありません。しかし $n$ が小さいときには、$\hat{s}$ 自身が標本ごとに揺れるため、ぴったり $1.96$ では信頼度 95% を保てなくなります。

そこで「$\sigma$ ではなく $\hat{s}$ で割った量がどんな分布に従うか」を考えると、それが t 分布 です。

t 分布

t 分布は標準正規分布と似た「左右対称の釣鐘型」ですが、裾(すそ)がやや厚いのが特徴。標本サイズが小さいほどその傾向が強く、$n\to \infty$ で標準正規分布 $N(0,1)$ に収束していきます。「$\sigma$ がわからないぶんの不確かさ」が分布の裾の厚みに表れている、と覚えるとよいでしょう。

母平均の 95% 信頼区間($\sigma$ 未知)

$z$ と $t$ の使い分け

• $\sigma$ 既知: $z$ を使う(標準正規分布)─ 教科書問題用、現実は稀。
• $\sigma$ 未知 + $n$ 小: $t$ を使う($n-1$ の自由度) ─ 主役。
• $\sigma$ 未知 + $n$ 大($n\ge 30$ 目安): $t$ でも $z$ でもほぼ同じ。実務では大標本なら $z$ で済ませることも多い。

試験問題では $\sigma$ 既知/未知をはっきり明示してくれます。「未知ですよ」と言われたら反射的に t 分布、と覚えれば迷いません。

「ある支持率は 35% プラスマイナス 3%」「製品の不良率は 2% 程度」 ─ 比率の推定は、世論調査・品質管理・マーケティング、いたるところで登場します。本節では母比率 $p$ の信頼区間の作り方を学びます。

標本比率と二項分布

$X$ は二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$ に従うので、$E[X]=np$、$V[X]=np(1-p)$。これを $n$ で割った $\hat{p}$ について、

$\hat{p}$ は母比率 $p$ の不偏推定量、その標準誤差は $\sqrt{p(1-p)/n}$、と整理できます。

正規近似

「ベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返した平均」も中心極限定理で正規分布に近づく ─ という具体例が、まさにこの正規近似です。$n$ が小さいときや $p$ が極端に $0$ や $1$ に近いときは近似が悪くなるので、目安として上の条件を満たすことを確認します。

母比率の 95% 信頼区間

標準誤差の式に未知の $p$ が入ってしまっているので、ここでは $p$ を $\hat{p}$ で代用しています。「$\hat{p}$ がそこそこ正確ならその近くで分散も近い値だろう」という近似です。

標本サイズはどれくらい必要?

ニュースでよく「世論調査 $n=1000$」「許容誤差 ±3%」と書いてあります。これは $1.96\sqrt{0.5\times 0.5/1000}=0.031$ という計算から来ていて、$\hat{p}=0.5$ あたりでも誤差約 3% に収まる、ということ。「許容誤差」を半分の 1.5% にしたければ $n$ は 4 倍の $4000$ 必要、という $\sqrt{n}$ の関係はここでも効いてきます。

「このコインは本当に公平か?」「新しい薬は従来薬より効くか?」「広告 A と B、どちらがクリック率が高い?」 ─ こういう問いに、データを使って客観的に答える枠組みが仮説検定です。2 級の中でいちばん配点が多い領域でもあります。本節ではまず考え方の骨格を押さえます。

帰無仮説と対立仮説

仮説検定の基本姿勢は「帰無仮説 $H_0$ が正しいと仮定したとき、いま得られたデータがどれくらい起こりにくいか」を計算する、という背理法的な発想です。「ありえないほど起こりにくい」なら $H_0$ を棄却して、$H_1$ を採用します。

検定の手順

1. 仮説を立てる: $H_0$ と $H_1$ を文脈に合わせて設定する。
2. 有意水準 $\alpha$ を決める: 慣例的に $\alpha =0.05$ または $0.01$。「$H_0$ が正しいのに棄却してしまう確率」の上限。
3. 検定統計量を計算する: $H_0$ のもとで分布が分かっている量(z, t, ${\chi }^2$, F など)。
4. 棄却域 or p 値で判定する: 統計量が極端な値ならば $H_0$ を棄却。極端さを定量化するのが p 値。

p 値

「p 値は『$H_0$ が正しい確率』ではない」 ─ ここが受験で必ず引っかけられるポイント。p 値は「$H_0$ を仮定した世界で、こんなデータが見える確率」です。$H_0$ そのものの真偽の確率ではないので、注意してください(ベイズ統計を学ぶとこの違いが鮮明になります)。

両側検定と片側検定

• 両側検定: $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ ─ 「異なる」とだけ主張。棄却域は分布の左右両端。
• 右片側検定: $H_1:\mu >{\mu }_0$ ─ 「大きい」と主張。棄却域は右端のみ。
• 左片側検定: $H_1:\mu <{\mu }_0$ ─ 「小さい」と主張。棄却域は左端のみ。

「同じ有意水準 $\alpha =0.05$ なら、両側より片側のほうが棄却されやすい」(片側のほうが棄却域が広い)。事前に「どちら向きを示したいか」が決まっているなら片側、ないなら両側、が大原則です。データを見てから方向を決めるのは反則(p ハッキング)。

第 1 種の誤り・第 2 種の誤り・検出力

$\alpha$ と $\beta$ はトレードオフの関係にあります。$\alpha$ を厳しくする(例: $0.01$)と棄却しにくくなり、第 1 種の誤りは減るが第 2 種の誤りは増える。実務では「重大な見落としを避けたいときは $\beta$ を抑える」「慎重に判定したいときは $\alpha$ を厳しくする」と使い分けます。

$\alpha$、$\beta$、検出力、効果量、標本サイズの 5 者の関係は、2 級でも準1級でも問われる重要トピック。標本サイズを大きくすると、ほぼあらゆる方向で改善する(誤りが減る/検出力が上がる) ─ これが「サンプルが足りないなら、まず増やす」が推奨される理由です。

前節で学んだ仮説検定の枠組みを、最も基本的なケース ─「ある母集団の平均値が特定の値と違うか」 ─ に適用します。前章の信頼区間と密接に対応する話です。

母平均の z 検定($\sigma$ 既知)

両側検定の棄却基準は $|Z|>z_{\alpha /2}$。$\alpha =0.05$ なら $|Z|>1.96$、$\alpha =0.01$ なら $|Z|>2.576$。片側なら $z_{\alpha }$($1.645,2.326,\dots$)を使います。

母平均の t 検定($\sigma$ 未知)

棄却基準は $|T|>t_{\alpha /2}(n-1)$(両側)。$t$ 分布の臨界値は自由度ごとに変わるので、表を参照する必要があります。実用上は「$n$ が 30 以上なら $t$ も $z$ もほぼ同じ」と覚えておくと、概算で判定できます。

信頼区間と検定の表裏一体性

「両側検定で棄却できないこと」と「対応する信頼区間に ${\mu }_0$ が含まれること」は同値です。

• ${\mu }_0$ が 95% 信頼区間に含まれない ⇔ $\alpha =0.05$ の両側検定で 棄却される
• ${\mu }_0$ が 95% 信頼区間に含まれる ⇔ $\alpha =0.05$ の両側検定で 棄却されない

つまり信頼区間と検定は同じことを別の言葉で言っているだけ。試験では「信頼区間を計算して、${\mu }_0=$ 値が入っているか?」だけで両側検定の結論が出ることもしばしばあります。

母比率の検定(参考)

母比率 $p$ の検定もほぼ同じ流れで作れます。$H_0:p=p_0$ に対し、検定統計量は $Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ ($H_0$ のもとで $Z\sim N(0,1)$)。「$p_0$ を仮定するので、標準誤差にも $p_0$ を使う」のが信頼区間との違いです。次節ではより複雑な分布表データに挑む、カイ二乗検定に進みます。

ここまでの z 検定・t 検定は「平均に差があるか」を扱う手法でした。本節では「観測度数の分布が想定どおりか」「2 つのカテゴリ変数に関係があるか」を判定する、もう 1 つの定番ツール ─ カイ二乗検定を学びます。

カイ二乗統計量の基本形

「期待度数 $E_i$」とは「$H_0$ が正しいとしたらこのくらいになるはず」という値。観測 $O_i$ がそこから大きく外れるほど ${\chi }^2$ は大きくなり、$H_0$ を疑う根拠になります。

適合度検定

独立性検定 ─ 分割表

適用上の注意

• 期待度数の目安: 各セルで $E_{ij}\ge 5$ が成り立つことが望ましい。期待度数が小さすぎるとカイ二乗近似が悪くなる。
• 棄却の意味: 独立性検定で棄却 = 「関連がある」とは言えるが、「どんな関連か」「因果か」までは判定できない。
• $2\times 2$ 分割表でフィッシャーの正確検定: $n$ が小さいときは、こちらが推奨されることもある(2 級では参考程度に)。

「ある工程の製品ばらつき(分散)が、規格値 ${\sigma }_0^2$ に収まっているか?」 ─ こうした問いには 母分散の検定 を使います。母平均の検定が z や t 分布だったのに対し、母分散の検定では カイ二乗分布 を使うのが特徴。仮定として「母集団が正規分布」が強く効きます。

検定統計量

つまり統計量 ${\chi }_0^2=(n-1){\hat{s}}^2/{\sigma }_0^2$ が、自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従います。標本分散が母分散の何倍になっているかを、自由度で重み付けた量、と読めます。

両側検定の棄却域

${\chi }^2$ 分布は左右非対称なので、両側検定の棄却域は左右別に設定します:

${\chi }_{n-1,p}^2$ は「自由度 $n-1$ のカイ二乗分布で、上側確率 $p$ となる点」。例: $n=21$、$\alpha =0.05$ なら、自由度 $20$ で ${\chi }_{20,0.025}^2=34.17$、${\chi }_{20,0.975}^2=9.59$ が棄却境界です。

母分散の信頼区間

正規性の重要性

「2 群の平均に差があるか?」を判定するための t 検定は、対応の有無と分散の等性で 4 つの設計に分かれます。それぞれ自由度の取り方や統計量が違うので、状況に合った検定を選ぶことが重要。本節では 3 つの主要パターンを整理します。

(1) 等分散を仮定する 2 標本 t 検定 ─ Student の t

(2) 等分散を仮定しない ─ Welch の t 検定

(3) 対応のある t 検定 ─ ペアデータの差を見る

(4) 等分散性の F 検定 ─ 分散の比

F 検定は正規性に弱く(母分散の検定と同様)、現代の実務では Levene 検定や Brown-Forsythe 検定の方が好まれます。「Student と Welch のどちらを使うか?」を決めるためだけに F 検定をする必要はなく、最初から Welch を選ぶのが推奨される所以です。

選び方フローチャート

• ペアデータか? ── はい → 対応のある t 検定 / いいえ → 次へ
• 等分散と言えるか確信あるか? ── いいえ → Welch の t / はい → Student の t
• 正規性に強い不安? ── マン・ホイットニー U(2 級範囲外、参考)

「気温が 1℃ 上がると、アイスの売上はどれくらい増えるか?」「広告費を 10 万円増やすと、売上は何万円伸びるか?」 ─ こういった「説明変数 $x$ で目的変数 $y$ を予測・説明する」ためのもっとも基本的な手法が、本節で学ぶ単回帰分析です。

回帰モデル

$y$ をぜんぶ $\alpha +\beta x$ で説明し尽くせるとは普通考えません。残った「説明できないぶん」が誤差 $\epsilon$。回帰の目的は、データから $\alpha$ と $\beta$ をできるだけよく推定することです。

最小二乗法

「もっとも当てはまりがよい直線」をどう決めるか? 一般的な答えは「残差の 2 乗和を最小にする」直線。これを最小二乗法といいます。

回帰直線は必ず点 $(\bar{x},\bar{y})$ を通る、というのが切片の式の意味するところ。傾き $\hat{\beta }$ の式は「共分散 ÷ $x$ の分散」 ─ 3 級で学んだ共分散・相関係数と同じ部品の組み合わせです。

決定係数 $R^2$

単回帰の場合は $R^2=r^2$(相関係数の 2 乗)が成り立ちます。「相関 0.8 ⇒ $R^2=0.64$、つまり $y$ の分散の 64% が $x$ で説明できる」と読みます。

回帰の前提条件

最小二乗法による回帰は、いくつかの前提のもとで「良い」性質を持ちます。

• 線形性: $y$ と $x$ の関係が直線で表せる。
• 独立性: 各 ${\epsilon }_i$ が独立。
• 等分散性: ${\epsilon }_i$ の分散が $x$ の値によらず一定。
• 正規性(検定や区間推定で必要): ${\epsilon }_i$ が正規分布に従う。

実データではこれらが完全に満たされることはまずありません。残差プロットを描いて「ランダムに散らばっているか」「特定の傾向はないか」を確認するのが、実務での回帰分析の基本作法です。

「$x$ と $y$ には本当に意味のある関係があるのか?」 ─ それは「回帰係数 $\beta$ が実は $0$ ではないか?」という疑問と同じです。本節では、$\hat{\beta }$ をもとに $\beta$ について検定や区間推定を行う方法を学びます。

$\hat{\beta}$ の標本分布

$\hat{\beta }$ は $\beta$ の不偏推定量。分散は $x$ の散らばり($\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$)が大きいほど小さくなります。「$x$ をよく振って観測したほうが、$\beta$ を精度よく推定できる」というわけです。

回帰係数の検定

自由度が $n-2$ なのは、回帰で 2 つのパラメータ($\alpha ,\beta$)を推定したぶん「自由度が 2 つ食われる」から、と覚えます。$|T|>t_{\alpha /2}(n-2)$ なら $H_0$ を棄却し、「$\beta \ne 0$」 ─ つまり「$x$ は $y$ に統計的に有意な影響を持つ」と結論できます。

回帰係数の信頼区間

信頼区間と t 検定の表裏一体性は、回帰係数でも成り立ちます。「$0$ が信頼区間に含まれるかどうか」が「$\beta =0$ が両側検定で棄却されるかどうか」と一致します。

回帰結果の読み方(実務では)

Excel・R・Python などの統計ソフトで回帰分析を実行すると、典型的に次の表が出力されます。

重回帰への展望

本節では説明変数が 1 つの単回帰を扱いました。説明変数を複数にした重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_k{x}_k+\epsilon$ も、考え方の枠組みは同じ。各 ${\beta }_j$ について t 検定が行え、決定係数や F 検定で全体の有意性も判定できます。重回帰の本格的な扱いは準1級の主要トピックです。

本節までで単回帰の解析は終了です。次の節では、説明変数を複数にする 重回帰分析 に踏み込みます。

現実のデータでは「$y$ に影響を与える要因は 1 つではない」のが普通です。家賃なら駅徒歩・面積・築年数・階数など複数の要因が絡みます。重回帰分析 はこれらを同時にモデル化する道具で、2 級では「行列で記述された線形モデル」と「決定係数・自由度調整済み決定係数・F 検定」の 4 点を押さえます。

モデル

正規方程式と行列表現

観測値を行列で並べると、$y=X\beta +\epsilon$。最小二乗推定量は次の閉じた形で書けます:

この式は 正規方程式 (normal equation) と呼ばれます。$X$ は各行が観測、各列が説明変数(切片用に 1 列追加した「デザイン行列」)。$X^{\top }X$ が逆行列を持たない(完全多重共線性がある)と推定が破綻します。

決定係数 R²

自由度調整済み決定係数

重回帰では「変数を増やせば $R^2$ は必ず上がる」という性質があります。意味のない変数を増やしても $R^2$ は減らない、という困った挙動。これを補正したのが 自由度調整済み決定係数:

$k$ が説明変数の数。意味のない変数を増やすと ${\bar{R}}^2$ は逆に下がります。モデル選択の判断材料の 1 つ。

全体の有意性 ─ F 検定

個別の係数の検定 ─ t 検定

全体が有意でも、個別にどの変数が効いているかは t 検定で判定します。各 ${\hat{\beta }}_j$ について:

多重共線性 ─ 説明変数同士が似ているとき

多重共線性 は 2 級正式範囲です(出題範囲表 線形モデル/回帰分析)。一方で次に紹介する VIF の具体的計算は準1級ワークブック範囲の発展内容となります。

回帰モデルは「線形性」「等分散性」「正規性」「独立性」の 4 つを仮定しています。これらが崩れているとき、t 検定や信頼区間の結果はあてになりません。残差プロット を見ることで、これらの仮定が成り立っているかをチェックします。

4 つの仮定

• 線形性: $E[y\mid x]$ が $x$ について線形。$\to$ 残差 vs 予測値プロットで「ランダム雲」になっていればOK。曲線パターンが見えたら線形性が崩れている。
• 等分散性(homoscedasticity): $V[\epsilon \mid x]={\sigma }^2$ が一定。$\to$ 残差プロットが「ラッパ型」になっていたら不等分散。
• 正規性: 残差が正規分布。$\to$ Q-Q プロットで直線に乗ればOK。両端が外れたら裾が厚い/薄い。
• 独立性: 残差が互いに独立。$\to$ 時系列データだとダービン・ワトソン統計量が 2 から離れたら自己相関の疑い。

対処の方向性

1. 線形性が崩れる: 説明変数を $\log x$、$x^2$、$\sqrt{x}$ などに変換して再度回帰。あるいは多項式回帰や GAM へ。
2. 等分散性が崩れる: $y$ を $\log y$ などに変換。あるいは加重最小二乗(WLS)で重み付け。
3. 正規性が崩れる: 残差が大きく歪んでいるなら $y$ を変換。少々の崩れなら $n$ が大きければ実害は小さい。
4. 独立性が崩れる: 時系列データなら ARIMA など時系列モデルへ。クラスタデータなら混合効果モデル。

外れ値・てこ比・Cook の距離

個別観測値の影響を測る指標として:

• 外れ値: $y$ がモデルから大きく外れる観測。標準化残差が $\pm 3$ を超えたら要注意。
• てこ比 (leverage): $x$ が他のデータから大きく離れている観測。観測点 $i$ の対角成分 $h_{ii}\in [0,1]$ で測る。$h_{ii}>2(k+1)/n$ で高いと判定する慣例。
• Cook の距離: 観測 $i$ を抜いたときに $\hat{\beta }$ がどれだけ動くかを総合した指標。$D_i>1$ なら影響が強い観測として再吟味。

これで 2 級教科書の主要範囲(推定・検定・回帰・分散分析)は終了です。次の章では、複数群の平均を一気に比べる 分散分析(ANOVA) に進みます。

「3 つ以上の群の平均を比べたい」という場面はよくあります。例: 3 種類の肥料 A, B, C で収穫量に差があるか? 4 種類の広告クリエイティブでクリック率に差があるか? このときに 一元配置分散分析 (One-way ANOVA) を使います。

なぜ複数の t 検定ではダメなのか

群が 3 つ($A,B,C$)あれば、ペアごとに t 検定を 3 回やればよさそうに見えます。しかしそれぞれの t 検定で $\alpha =0.05$ なら、3 回の検定全体で「少なくとも 1 つを誤って棄却する確率」は $1-0.95^3\approx 0.143$ まで膨らむ。これが 多重比較問題 で、ANOVA は「まず全体に差があるか?」を 1 回の検定で判定し、その後個別比較に進みます。

モデルと仮説

平方和の分解

全データのばらつき(全平方和 $S_T$)を、「群間ばらつき(処理効果)」と「群内ばらつき(誤差)」に分解します:

ここで:

• $S_T={\sum }_{i,j}(X_{ij}-{\bar{X}}_{..}{)}^2$ ─ 全平均からの偏差二乗和
• $S_A={\sum }_i{n}_i({\bar{X}}_{i.}-{\bar{X}}_{..}{)}^2$ ─ 群平均と全平均の差(処理効果)
• $S_E={\sum }_{i,j}(X_{ij}-{\bar{X}}_{i.}{)}^2$ ─ 各群内のばらつき(誤差)

F 検定統計量

ANOVA 表

ANOVA の前提

• 正規性: 各群が正規分布
• 等分散性: 全群で分散が等しい(${\sigma }^2$ 共通)。Levene 検定で確認可能。
• 独立性: 観測が独立

ANOVA で $H_0$ が棄却されたら、「では具体的にどの群とどの群が違うのか?」を調べたくなります。これを 多重比較 (multiple comparisons) と呼び、いくつかの方法があります。

Bonferroni 補正

簡便で安全、ただし検定数が多いと過度に保守的になり検出力が下がる欠点があります。

Tukey の HSD

Dunnett の検定

対照群(コントロール)が 1 つあり、それと他の群を比較したい場合に最も検出力が高い方法。コントロールとの比較しか興味がないので、検定数を減らせる分強い。臨床試験でよく使われます。

Holm の方法 ─ 検出力 vs 安全性のバランス

Bonferroni を順序付きで段階的に適用することで、保守性を緩めた方法。p 値を小さい順に並べ、$j$ 番目の p 値を $\alpha /(m-j+1)$ と比較。Bonferroni より検出力が高く、解釈もしやすいので近年の論文で増えています。

「肥料の種類(A, B, C)と土壌(粘土・砂)の 2 つの要因が収穫量にどう効くか?」のように、2 つの因子を同時に扱うのが 二元配置分散分析 (Two-way ANOVA) です。一元配置にはない概念として 交互作用 が登場します。

モデル(交互作用なし)

平方和の分解

全平方和 = A の効果 + B の効果 + 残差。各効果について個別に F 検定が行えます。

モデル(交互作用あり)

交互作用の解釈

ANOVA 表(交互作用あり)

分割表(クロス集計表, contingency table) は 2 つ以上のカテゴリ変数の同時度数表。これに対する 独立性検定(カイ二乗検定の応用)を再整理します。3 級では適合度検定を扱いましたが、ここでは『2 変数の関連』を検定する側面に深く踏み込みます。

2x2 分割表と独立性

Cramér's V ─ 関連の強さ