3級 教科書

4 級では「平均」と「ばらつき(範囲・四分位範囲)」を扱いました。3 級ではばらつきを、もう一段だけ精密に扱う言葉 ─ 分散と標準偏差 ─ を学びます。これらは推定や検定など、統計学のあらゆる場面で土台となる量です。

標本平均

${\sum }_{i=1}^n{x}_i$ は「$x_1+x_2+\cdots +x_n$」を短く書いたものです。3 級以降では数式表現が一気に増えるので、この $\sum$ 記号には早めに慣れておきましょう。

偏差と分散

ばらつきを「平均からどれだけズレているか」で考えます。各データ $x_i$ の平均からのズレを偏差といい、$x_i-\bar{x}$ で計算します。

ところが偏差をそのまま足すと、正と負がちょうど打ち消し合って必ず $0$ になってしまいます。そこで偏差を 2 乗してから平均をとります。これが分散です。

標準偏差

分散はデータを 2 乗しているため、もとのデータと単位が合いません(例: 身長(cm)の分散は cm² )。そこで分散の正の平方根をとった量を使います。

計算で便利な公式

分散の計算では、次の変形が手計算で重宝します。

「2 乗の平均から、平均の 2 乗を引く」と覚えます。$x_i$ をそれぞれ 2 乗して平均し、最後に ${\bar{x}}^2$ を引くだけなので、偏差を一つひとつ計算しなくてよく、暗算と相性が良いのが特長です。

標本分散と不偏分散(参考)

ここで紹介した分母 $n$ の量は標本分散と呼びます。一方、母集団の分散 ${\sigma }^2$ を推定したいときには、分母を $n-1$ にした不偏分散 ${\hat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ を使います。3 級では「データそのもののばらつきを記述するなら $n$、母集団の分散を推定するなら $n-1$」とおおまかに区別しておけば十分です(2 級で深掘りします)。

ここまでは「ある 1 種類のデータ」だけを扱ってきました。実際には「身長と体重」「気温とアイスの売上」のように、2 種類のデータが対になって与えられることが多くあります。こうした 2 変数データの関係を測るための道具が、共分散と相関係数です。

散布図で関係を眺める

2 変数データ $(x_i,y_i)$ を平面上の点として描いた図を散布図といいます。散布図を眺めるだけでも、$x$ が増えると $y$ も増える(正の関係)、$x$ が増えると $y$ が減る(負の関係)、関係が見えない(無相関)、といった大まかな傾向はつかめます。共分散と相関係数は、この「見た目」を数値化したものです。

共分散

符号で大きく性格が変わるのが共分散の特長です。

• 正のとき: $x$ と $y$ が同じ方向に動く傾向(正の関係)。
• 負のとき: $x$ と $y$ が逆方向に動く傾向(負の関係)。
• $0$ に近いとき: 一方の増減が他方の増減と無関係(無相関)。

ただし共分散は単位の影響を強く受けます。たとえば身長を「m」で測るか「cm」で測るかで、共分散の値は $100$ 倍も変わってしまいます。「同じ符号の傾向」を見るには便利でも、「強さ」を客観的に比較するには使いにくいわけです。

相関係数 ─ 単位を消す

そこで、共分散をそれぞれの標準偏差で割って単位を消した量を使います。これが相関係数です。

相関係数 $r$ は必ず $-1\le r\le 1$ の範囲に収まります。値の意味は次のとおりです。

• $r\approx 1$: 強い正の相関(右上がりの直線に近い)。
• $r\approx -1$: 強い負の相関(右下がりの直線に近い)。
• $r\approx 0$: ほぼ無相関(直線的な関係はない)。
• 目安: $|r|\ge 0.7$ で強い相関、$0.4$〜$0.7$ で中程度、$0.2$ 以下で弱い相関、と表現することが多い。

相関と因果は別もの

相関係数を扱う上で必ず押さえておきたい注意があります。相関があるからといって、因果関係があるとは限らない、ということです。

有名な例として「アイスの売上と水難事故の件数には強い正の相関がある」というものがあります。これは「アイスを食べると水難事故が増える」のではなく、「気温が高い日にはアイスもよく売れ、水遊びをする人も多くなる」という、共通の原因(気温)があるためです。こうしたものを擬似相関と呼びます。

相関係数はあくまで「直線的な関係の強さ」を測る道具で、原因と結果を区別する力はありません。データを見るときは、「なぜそういう関係が出るのか」をいつも一歩立ち止まって考えるクセをつけましょう。

「数学の 70 点」と「英語の 70 点」、どちらが優秀でしょうか? もし数学の平均が 60 点・標準偏差 10、英語の平均が 80 点・標準偏差 5 なら、答えは大きく変わります。異なるテストや異なる単位の値を、共通の物差しに乗せて比較するための変換が、本節で学ぶ標準化です。

標準化の定義

標準化の中身を分解すると、次の 2 ステップを連続で行っていることがわかります。

1. 平均を引く: $x_i-\bar{x}$ ─ データの中心を $0$ に揃える。
2. 標準偏差で割る: $÷s$ ─ ばらつきの単位を揃え、$1$ 単位がちょうど「1 標準偏差ぶん」になるようにする。

標準化したデータの性質

つまり、どんな単位・どんなスケールのデータでも、標準化を通せば「平均 0・標準偏差 1」という共通の物差しに揃います。これによって異なるデータどうしを公平に比較できるようになります。

偏差値 ─ z スコアを使いやすく

受験勉強で必ず登場する偏差値も、実は z スコアを少し変換しただけのものです。

• 偏差値 50: 平均ちょうど(z = 0)。
• 偏差値 60: 平均から 1 標準偏差上(z = 1)、上位 約16%。
• 偏差値 70: 平均から 2 標準偏差上(z = 2)、上位 約2.3%。
• 偏差値 40: 平均から 1 標準偏差下、下位 約16%。

「上位 16% / 2.3%」といった具体的な割合は、データが正規分布(後の章で学ぶ釣鐘型の分布)に従うときの目安です。テストの点数のような分布はおおむね正規分布に近いので、この対応表は実用上よく使われます。

本章のまとめ

ここまでで 3 級の記述統計の主要部分が出そろいました。

• 1 変数の中心: 平均 $\bar{x}$
• 1 変数のばらつき: 分散 $s^2$、標準偏差 $s$
• 2 変数の関係: 共分散 $s_{xy}$、相関係数 $r$
• スケール調整: 標準化 $z=(x-\bar{x})/s$、偏差値 $T=50+10z$

これらの道具は次章以降の確率変数・確率分布の話、そして 2 級以降の推定・検定でも繰り返し登場する基礎的な共通言語です。

4 級では「同様に確からしい」を出発点に、確率を場合の数の比として求めました。3 級では、複数の事象が絡む状況をきれいに扱うための法則を整理し、3 級以降の主役となる条件付き確率を導入します。

確率の基本法則(復習 + 整理)

条件付き確率 ─ 「もし〜とわかったら」

「サイコロを振った人がこっそり覗いて、『偶数が出た』とだけ教えてくれた。さて、その目が $4$ である確率は?」 ─ 何の情報もないときの確率は $\frac{1}{6}$ ですが、「偶数だ」と知ってからの確率は $\frac{1}{3}$ です(偶数は $2,4,6$ の 3 通りで、そのうち $4$ は 1 通りだから)。このように 「ある事象が起こったとわかったうえでの確率」 を条件付き確率といいます。

乗法定理 ─ 同時に起こる確率

条件付き確率の定義式を変形すると、「$A$ も $B$ も起こる確率」を求める式が得られます。

独立事象 ─ 「条件を知っても確率が変わらない」

「$A$ が起こったと知ろうが知るまいが、$B$ が起こる確率は変わらない」 ─ それが独立性の本質です。コインを 2 枚別々に投げる、別の人がそれぞれくじを引く、毎日のサイコロの目、といったケースは独立として扱えます。

全確率の法則とベイズの定理(さわり)

条件付き確率を使うと、有名な「全確率の法則」「ベイズの定理」が記述できます。3 級の試験では計算問題として問われることがあるので、形だけでも押さえておきましょう。

ベイズの定理は「結果から原因の確率を逆算する」道具で、$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ という形をしています。例題 2.4 の状況で「陽性だった人が実際に病気である確率」を求めるのが、ベイズの定理の典型的な使いみち。これは準1級・1級の主要テーマでもあります。

次節では、こうした確率の枠組みの中で「数値をとる量」として扱う確率変数の話に進みます。期待値・分散がいよいよ「ランダムな量」に対して定義される、抽象度が一段上がるところです。

前節までの確率は「事象が起こる/起こらない」を扱っていました。本節からは、もう少し抽象度の高い「ランダムな数値」 ─ 確率変数 ─ を導入し、その平均(期待値)とばらつき(分散)を考えます。

確率変数とは

たとえば「サイコロを 1 回振って出た目」は離散確率変数で、$X\in \{1,2,3,4,5,6\}$、$P(X=k)=1/6$ です。「明日の最高気温」は連続確率変数で、無限個の実数値をとります。3 級の中心は離散確率変数。連続版は次章の正規分布で扱います。

期待値

分散

期待値だけでは「平均的にどのへんの値か」しかわかりません。「ふつうそこからどれくらいズレるか(ばらつき)」を測るのが、確率変数の分散です。考え方は記述統計の分散と同じく、「平均からのズレの 2 乗」の平均をとります。

計算には次の変形がよく使われます(記述統計と同じ形)。

標準偏差

分散はデータを 2 乗しているため、もとの $X$ と単位が合いません。それを揃えるために平方根をとったものが標準偏差で、$X$ と同じ単位でばらつきを語れます。例題 2.7 なら ${\sigma }_X=\sqrt{0.49}=0.7$。

線形変換 ─ $aX + b$ の期待値・分散

$Y=aX+b$ のように、確率変数を定数倍したり定数を足したりした新しい確率変数 $Y$ を考えると、期待値・分散は次の規則に従って一気に計算できます。

この線形変換則は、次節の二項分布や正規分布の標準化、さらには 2 級以降の推定・検定の式変形でも繰り返し登場します。「期待値は普通の代数計算、分散は $a^2$ で割増し」と覚えておきましょう。

コインを 10 回投げて表が何回出るか。10 問の選択式テストで、当てずっぽうで何問正解するか。同じ試行を独立に何度も繰り返すとき、成功回数の分布として現れるのが本節の主役、二項分布です。

ベルヌーイ試行

コインを 1 回投げる(表 = 成功)、サイコロで 6 が出るかどうか(成功確率 $1/6$)、ある問題に正解できるか ─ ぜんぶベルヌーイ試行です。これを $n$ 回独立に繰り返したときの成功回数を $X$ とおきます。

二項分布の定義

なぜこの形になるかは樹形図で考えると見えます。$n$ 回中ちょうど $k$ 回成功する「並び方」は ${}_n{C}_k$ 通り、それぞれの並びの確率は $p^k(1-p{)}^{n-k}$。掛け合わせて足したものが、上の式です。

二項分布の期待値と分散

「平均は 試行回数 × 成功確率」「分散は 平均 × 失敗確率」と暗記してしまうのが楽です。直感的にも、コインを 10 回投げれば表は平均 5 回(= $10\times 0.5$)、ばらつきは $10\times 0.5\times 0.5=2.5$ ぐらい、と納得できます。

二項分布の形と正規分布へのつながり

二項分布の確率分布をグラフにすると、$n$ が大きくなるほど 左右対称な釣鐘型(つりがねがた)に近づいていきます。具体的には $n$ が十分大きく $np$ も $n(1-p)$ も大きければ、二項分布は次節で扱う正規分布 $N(np,np(1-p))$ で近似できる、ということが知られています(ラプラス・ド・モアブルの定理)。

この事実が「データ分析でよく出てくるあの釣鐘型(正規分布)」と「コインの試行(二項分布)」をつなぎます。次の 3.2 で、いよいよ正規分布そのものに踏み込みます。

「身長」「テストの点数」「測定誤差」 ─ 自然界や社会のさまざまな量は、データを集めると左右対称の釣鐘型のヒストグラムを描きます。この形を理想化したものが本節の主役、正規分布です。統計学のあらゆる場面に登場する、もっとも重要な分布のひとつ。

正規分布の形

式は複雑ですが、3 級では「$\mu$ で中心が決まり、$\sigma$ で幅が決まる、左右対称の釣鐘型」とイメージできれば十分です。$\sigma$ が大きいほど、釣鐘の裾が広く・てっぺんが低くなります。

経験則(68 - 95 - 99.7 ルール)

正規分布で覚えておきたい便利な目安があります。$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ のとき:

• $\mu -\sigma$ から $\mu +\sigma$ の範囲: 約 $68\%$ のデータが入る
• $\mu -2\sigma$ から $\mu +2\sigma$ の範囲: 約 $95\%$
• $\mu -3\sigma$ から $\mu +3\sigma$ の範囲: 約 $99.7\%$

標準化 ─ 正規分布の主役技

「平均を引いて標準偏差で割る」という変換、1.3 節で学んだ標準化と同じ式です。これによって、どんな正規分布も $N(0,1)$ という共通の物差しに翻訳できます。標準正規分布表(あるいはアプリの $z$ 値計算)を一つだけ用意しておけば、ありとあらゆる正規分布の確率を計算できる、というのが標準化の威力です。

from scipy import stats

# X ~ N(50, 10²) のとき P(X <= 60) を求める
mu, sigma = 50, 10
print(stats.norm.cdf(60, loc=mu, scale=sigma))   # 0.8413...

# z 値で確率を求める(標準正規分布)
print(stats.norm.cdf(1.0))                       # 0.8413...

# 上側 2.5% 点(95% 信頼区間で使う z 値)
print(stats.norm.ppf(0.975))                     # 1.9600

標準正規分布表の読み方

標準正規分布表は、$P(Z\le z)$ や $P(0\le Z\le z)$ を $z$ ごとに並べた数表です。試験会場では持ち込み可なので、形式に慣れておきましょう。代表的な値は次のとおり ─ よく出るので暗記推奨。

• $P(Z\le 1.96)\approx 0.975$ ⇒ 両側合計 $0.05$
• $P(Z\le 1.645)\approx 0.95$ ⇒ 片側 $0.05$
• $P(Z\le 2.576)\approx 0.995$ ⇒ 両側合計 $0.01$

$1.96$、$1.645$、$2.576$ ─ これらの値は次章の信頼区間や、2 級以降の検定で何度も登場します。最低限 $1.96$ は反射的に思い出せるようにしておきたいところです。

ここまでの章は「すでに分かっている分布があるとき、そこから何が起こりやすいか」を考える方向の話でした。本節からは逆向き ─ 「標本のデータから、未知の真の値(母平均)を推し量る」推定の入口を扱います。

母集団と標本

全国の高校 1 年生の身長(母集団)を全員測るのは不可能なので、500 人をランダムに選んで身長を測る(標本)。この 500 人の平均 $\bar{X}$ から、未知の本当の平均 $\mu$ を推し量る ─ これが推定です。

標本平均の標本分布

標本平均の期待値はちょうど母平均と一致します。「平均的にはちゃんと当たる推定量」ということ。一方、標本平均自体は標本ごとに揺れるばらつきを持ちますが、$n$ を大きくするほどその揺れは縮みます($\sqrt{n}$ で割られているのがポイント)。

中心極限定理(さわり)

つまり、もとの母集団の分布が正規分布でなくても、たくさん集めた標本の平均は近似的に正規分布になる ─ これが中心極限定理。「だから標本平均は正規分布で扱ってよい」という、推定や検定の理論的な土台になっています。

母平均の 95% 信頼区間($\sigma$ 既知)

標本平均 $\bar{X}$ を中心に、誤差 $1.96\times \sigma /\sqrt{n}$ ぶんの幅を取った区間を考えます。

$1.96$ は標準正規分布で $P(|Z|\le 1.96)=0.95$ に相当する値(前節 3.2 で出てきた値です)。信頼度 を $99\%$ に上げたければ $1.96$ の代わりに $2.576$、$90\%$ なら $1.645$ を使います。

信頼区間の正しい解釈

「95% 信頼区間に $\mu$ が入る確率は 95%」という説明は、厳密にはやや不正確です。正しくは「同じ手続きを多数回繰り返すと、得られる区間の約 95% が真の $\mu$ を含む」というのが信頼区間の意味です。

実用上はあまり気にせず「95% の信頼度で $\mu$ はこの区間にある」と読むことが多いですが、頭の片隅に入れておくと、検定の話に入ったときに混乱しません。次の 2 級では「母分散が未知の場合(t 分布)」「比率の信頼区間」「母平均の検定」など、推定・検定が一気に拡張されていきます。