3級 公式集

n 個のデータ x₁, x₂, …, xₙ の平均値。データの中心的な位置を示す代表値。

データを昇順に並べたときの中央の値。外れ値の影響を受けにくい代表値。

各データと平均との差の2乗の平均。ばらつきを表す指標。

分散の正の平方根。データと同じ単位でばらつきを表現できる。

第3四分位数 Q₃ と第1四分位数 Q₁ の差。中央50%のデータの広がりを示す。

2変数の連動を測る指標。正なら同方向、負なら逆方向に変動する傾向。

2変数の直線的な関連の強さ。-1 〜 1 の値をとり、絶対値が大きいほど強い相関。

事象 A が起こらない確率は、1 から A の確率を引いたもの。

A または B が起こる確率。互いに排反なら $P(A \cap B) = 0$ で単純な和になる。

事象 A が起こったという条件のもとで B が起こる確率。A と B が独立なら $P(B \mid A) = P(B)$。

A と B が独立のとき、両方同時に起こる確率は確率の積。

確率変数 X の平均的な値。各値にその確率を掛けて和をとる。

X の平均まわりのばらつき。計算は $E[X^2]$ から $(E[X])^2$ を引く形が便利。

定数倍と定数加算の変換則。分散は定数倍の2乗で効き、定数加算は影響しない。

成功確率 p の独立試行を n 回行ったときの成功回数 X の分布。$E[X] = np$, $V[X] = np(1-p)$。

平均 μ, 標準偏差 σ の正規分布を、標準正規分布 N(0,1) に変換する式。

母分散が既知のときの母平均の信頼区間。95%なら $z_{0.025} \approx 1.96$ を用いる。

標本比率 p̂ から母比率 p を推定する。サンプルサイズが十分大きいときに正規近似が使える。

$H_0: \mu = \mu_0$ のもとで標準正規分布に従う。$\sigma$ 未知で n≥30 なら標本標準偏差 s で代用。

$H_0: p = p_0$ のもとで大標本($np_0 \geq 5,\ n(1-p_0) \geq 5$)では標準正規分布に従う。

両側 $\alpha$ の棄却条件。$\alpha=0.05$ なら $|Z| \geq 1.96$、$\alpha=0.01$ なら $|Z| \geq 2.576$。片側 $\alpha$ なら $Z \geq z_\alpha$($\alpha=0.05$ で $1.645$)。

観測度数 $O_i$ と理論期待度数 $E_i$ から計算。自由度 $df = k - 1$ のカイ二乗分布に従う(右片側棄却)。期待度数 $\geq 5$ が前提。

$R_i$ 行合計、$C_j$ 列合計、$N$ 総計から期待度数を作る。自由度 $df = (r-1)(c-1)$。Cramér's V $= \sqrt{\chi^2/(N \cdot \min(r-1, c-1))}$ で関連の強さを評価。

$\alpha$ を厳しくすると $\beta$ は増える(トレードオフ)。両者を同時に下げるには標本サイズ $n$ を増やすしかない ─ 大規模実験が信頼される数学的根拠。